最佳答案罗素悖论与第三次数学危机 1、两大数学危机的实质其实都是因为实数体系的不完善所导致的。所以魏尔斯特拉斯等人发起了“分析算术化”运动。 2、1917 年至 1920 年，布劳威尔开始进......
罗素悖论与第三次数学危机
1、两大数学危机的实质其实都是因为实数体系的不完善所导致的。所以魏尔斯特拉斯等人发起了“分析算术化”运动。
2、1917 年至 1920 年，布劳威尔开始进一步发展他的直觉主义观点，包括沿着直觉主义思路发展集合论。
3、在魏尔斯特拉斯“分析算术化”运动的引领下，戴德金、康托尔包括魏尔斯特拉斯都提出了自己的实数理论。
4、以上三期简单介绍了数学史上由于数学悖论而导致的三次数学危机与经过，从中我们不难看到数学悖论在推动数学发展中的巨大作用。有人说：“提出问题就是解决问题的一半”，而数学悖论提出的正是让数学家无法回避的问题。它对数学家说：“解决我，不然我将吞掉你的体系！”正如希尔伯特在《论无限》一文中所指出的那样：“必须承认，在这些悖论面前，我们目前所处的情况是不能长期忍受下去的。人们试想：在数学这个号称可靠性和真理性的模范里，每一个人所学的、教的和应用的那些概念结构和推理方法竟会导致不合理的结果。如果甚至于数学思考也失灵的话，那么应该到哪里去寻找可靠性和真理性呢？”悖论的出现逼迫数学家投入最大的热情去解决它。而在解决悖论的过程中，各种理论应运而生了：第一次数学危机促成了公理几何与逻辑的诞生；第二次数学危机促成了分析基础理论的完善与集合论的创立；第三次数学危机促成了数理逻辑的发展与一批现代数学的产生。数学由此获得了蓬勃发展，这或许就是数学悖论重要意义之所在吧。
5、我们还真不能怪希尔伯特钻牛角尖。因为当时除了欧几里得的几何公理，还有其它一些数学的公理体系。最叫人担心的就是数的公理，也就是希尔伯特在他的第二个问题中提到的算术公理。这套公理定义了数和数的运算规则，它又叫做皮亚诺公理，是意大利数学家皮亚诺提出的，公理总共有九条，粗看看也都是显然的。不过由于希尔伯特时代，数论还是有很多悬而未决的问题，也许希尔伯特直觉感到皮亚诺公理体系有缺陷，所以提出要数学家来证明这个皮亚诺公理体系是相容完备的。
6、18世纪，微分法和积分法在生产和实践上都有了广泛而成功的应用，大部分数学家对这一理论的可靠性是毫不怀疑的。
7、(5)洪辛.芝诺悖论与数学危机(J).自然辩证法研究，1986(02):39-DOI:19484/j.cnki.1000-8919000
8、◆数学历史上的第一次数学危机：被扔进爱琴海的希帕索斯!(罗素悖论与第三次数学危机)。
9、第一个为补救第二次数学危机提出真正有见地的意见的是达朗贝尔。他在1754年指出，必须用可靠的理论去代替当时使用的粗糙的极限理论。但是他本人未能提供这样的理论。最早使微积分严谨化的拉格朗日。为了避免使用无穷小推断和当时还不明确的极限概念，拉格朗日曾试图把整个微积分建立在泰勒式的基础上。但是，这样一来，考虑的函数范围太窄了，而且不用极限概念也无法讨论无穷级数的收敛问题。所以，拉格朗日的以幂级数为工具的代数方法也未能解决微积分的奠基问题。
10、然而, 远在欧几里得之前,在古代巴比伦人、埃及人和希腊人那里, 就已产生了公理化思想的萌芽。公元前六世纪时期, 希腊数学的鼻祖泰勒斯(Thales, 约公元前624 – 公元前547)就把逻辑论证引入于数学之中。及至希伯索斯(Hippasus) 发现无公度线段之后, 毕达哥拉斯(Pythagoras,公元前580 — 公元前497) 学派即逐步认识到直观、经验和实践并非绝对可靠,希望对过去由经验而直接得到的几何知识都能够用严格的逻辑推理来加以证明。
11、从哲学上来看，矛盾是无处不存在的，即便以确定无疑著称的数学也不例外。数学中有大大小小的许多矛盾，例如正与负、加与减、微分与积分、有理数与无理数、实数与虚数等等。在整个数学发展过程中，还有许多深刻的矛盾，例如有穷与无穷、连续与离散、存在与构造、逻辑与直观、具体对象与抽象对象、概念与计算等等。
12、 文字|吴浩芸
13、因为罗素悖论只涉及最基本的集合论概念：集合，元素，属于和概括原则，它的构成十分清楚明白。这个悖论的出现说明以往的朴素集合论中包含矛盾，因而以集合论为基础的整个数学就不能没有矛盾。这个悖论也同时说明数学中采用的逻辑也不是没有问题的。数学上的第三次危机使数学界和逻辑学界都感到问题的严重性。罗素悖论表明不能无条件承认概括原则，然而概括原则的改变将使集合论大为改观，因此对整个数学的影响是巨大的。
14、非欧几何学的建立, 不仅为公理化方法的进一步发展奠定了基石, 而且为新数学理论的发现提供了先例。
15、 阿基里斯悖论：此悖论同样以时空的连续性为前提，假设时空无限可分，以每次阿基里斯跑到乌龟的上一个位置的这段路程为一个循环作为一个“芝诺时”来衡量的话，“芝诺时”较正常时间越来越少，而这些越来越少的无穷个时间加起来是有限的，并不是无穷
16、数学中有大大小小的许多矛盾，比如正与负、加法与减法、微分与积分、有理数与无理数、实数与虚数等等。但是整个数学发展过程中还有许多深刻的矛盾，例如有穷与无穷，连续与离散，乃至存在与构造，逻辑与直观，具体对象与抽象对象，概念与计算等等。在整个数学发展的历史上，贯穿着矛盾的斗争与解决。而在矛盾激化到涉及整个数学的基础时，就产生数学危机。
17、1912 年，在阿姆斯特丹大学的数学教授就职演说上，布劳威尔进一步探讨了他认为与这个“定律”有联系的问题。
18、19世纪70年代初，威尔斯特拉斯、狄德金、康托等人独立地建立了实数理论，而且在实数理论的基础上，建立起极限论的基本定理，从而使数学分析建立在实数理论的严格基础之上。
19、正当数学家们陶醉于集合论带来的严谨时，一个震惊数学界的消息传出来了：集合论是有漏洞的！这就是1903年，数学家罗素提出的一个悖论：若S由一切不是自身元素的集合所组成，那S包含S吗？
20、诱发第一次数学危机的一个间接因素是之后“芝诺悖论”的出现，它更增加了数学家们的担忧：数学作为一门精确的科学是否还有可能？宇宙的和谐性是否还存在？
21、18世纪，微分法和积分法在生产和实践上都有了广泛而成功的应用，大部分数学家对这一理论的可靠性是毫不怀疑的。
22、中国、埃及、巴比伦、印度等国的数学没有经历这样的危机，因而一直停留在实验科学。即算术阶段。希腊则走上了完全不同的道路，形成了欧几里得的《几何原本》与亚里斯多得的逻辑体系，而成为现代科学的始祖。
23、危机产生后，数学家纷纷提出自己的解决方案。1908年，策梅洛提出第一个公理化集合论体系，后来经其他数学家改进，称为ZF系统。这一公理化集合系统很大程度上弥补了康托尔朴素集合论的缺陷。除ZF系统外，集合论的公理系统还有多种。但虽然说第三次数学危机表面上是解决了，但其实还没有非常完美地解决。
24、数学中的矛盾既然是固有的，它的激烈冲突——危机就不可避免。危机的解决给数学带来了许多新认识、新内容，有时也带来了革命性的变化。把20世纪的数学同以前全部数学相比，内容要丰富得多，认识要深入得多。在集合论的基础上，诞生了抽象代数学、拓扑学、泛函分析与测度论，数理逻辑也兴旺发达成为数学有机体的一部分。
25、整数是在对于对象的有限整合进行计算的过程中产生的抽象概念。日常生活中，不仅要计算单个的对象，还要度量各种量，例如长度、重量和时间。为了满足这些简单的度量需要，就要用到分数。于是，如果定义有理数为两个整数的商，那么由于有理数系包括所有的整数和分数，所以对于进行实际量度是足够的。
26、 这个悖论通俗地说，即宇宙是由一切事物组成的集合，而宇宙本身也是一个事物，所以宇宙也应属于这个集合，而这是不可理解的。因为一个集合与组成这个集合的元素是有着本质区别的。也就是说，这个包罗万象的宇宙是不能存在的。因为，若宇宙存在，就会引出矛盾。写成集合语言为：
27、第一次数学危机表明，当时希腊的数学已经发展到这样的阶段：
28、而成為了它的代替品的就是我們今天用的zfc。
29、自从在康托的集合论和发现上述矛盾之后，还产生了许多附加的悖论。集合论的现代悖论与逻辑的几个古代悖论有关系。例如公元前四世纪的欧伯利得悖论：“我现在正在做的这个陈述是假的”。如果这个陈述是真的，则它是假的；然而，如果这个陈述是假的，则它又是真的了。于是，这个陈述既不能是真的，又不能是假的，怎么也逃避不了矛盾。更早的还有埃皮门尼德(公元前6世纪，克利特人)悖论：“克利特人总是说谎的人”。只要简单分析一下，就能看出这句话也是自相矛盾的。
30、 从1900年到1930年左右，数学的危机使许多数学家卷入一场大辩论当中。他们看到这次危机涉及到数学的根本，因此必须对数学的哲学基础加以严密的考察。在这场大辩论中，原来不明显的意见分歧扩展成为学派的争论。以罗素为代表的逻缉主义、以布劳威为代表的直觉主义、以希尔伯特为代表的形式主义三大数学哲学学派应运而生。它们都是唯心主义学派，它们都提出了各自的处理一般集合论中的悖论的办法。他们在争论中尽管言语尖刻，好象势不两立，其实各自的观点都吸收了对方的看法而又有很多变化。 5结论
31、布劳威尔对数学对象的观点直接导出了他对数学所用的逻辑观点；认为“ 逻辑不是发现真理的绝对可靠的工具” ，并认为，在真正的数学证明中不能使用排中律，因为排中律和其他经典逻辑规律是从有穷集抽象出来的规律，因此不能无限制的使用到无穷集上去。同样不能使用反证法。
32、虽然芝诺并未推导出正确的结论，但他触及到数学理论几个较为本质的问题，引发了数学危机，也倒逼数学家在一次次危机中不断完善数学理论、不断进步，对数学理论的完善具有重大意义.
33、 其实，在罗素之前集合论中就已经发现了悖论。早在1897年，布拉利—福尔蒂已公开发表了最大序数悖论。1899年康托尔本人也发现了最大基数悖论。当时因为这两个悖论牵涉到较为复杂的理论，人们认为可能是由于在其中某些环节处不小心引入的一些错误所致，人们对消除这些悖论也是乐观的，所以它们只是在数学界揭起了一点小涟漪，未能引起大的注意。但罗素悖论则不同，这一悖论相当简明，而且所涉及到的只是集合论中最基本的方面，以致几乎没有什么可以辩驳的余地，这就大大动摇了集合论的基础。 为了消除悖论，许多科学家开始分析悖论产生之因，寻求解决方案，他们规划了两种解决途径，其一是将整个集合论抛弃，把数学建立在别的理论基础上；其二是对康托尔的集合论加以改造，将集合论公理化。经过探索，他们选择了第二条解决途径。
34、魏尔斯特拉斯“分析算术化”运动虽然一次性地解决了数学史两大危机，但是却也引发了第三次数学危机，这场数学危机持续至今，让整个数学大厦岌岌可危。
35、 第一次危机是古希腊时代，由于不可公度的线段——无理数的发现与一些直觉的经验相抵触而引发的；
36、从这十点出发，欧几里得通过几何原本勾画出了整个欧氏几何，也是我们中学学过的几何内容。我们学的时候，看不出任何问题。
37、如果没有康托的抽象集合论和数理逻辑的近代发展, 数学公理方法的形式化也不可能获得新的进展。
38、希尔伯特认为只要将数学形式化"构成形式系统"然后用一种有限性的方法，就能证明各个形式系统的兼容性，从而导出全部数学的无矛盾性。希尔伯特的雄心勃勃数学基础研究规划最终被哥德尔的不完备性定理所否定，但他为此而创立的证明论却开辟了一个数理逻辑的新领域。
39、第二次数学危机，指发生在十八世纪，围绕微积分诞生初期的基础定义展开的一场争论，这场危机最终完善了微积分的定义和与实数相关的理论系统，同时基本解决了第一次数学危机的关于无穷计算的连续性的问题，并且将微积分的应用推向了所有与数学相关的学科中。
40、拓扑学 (topology) 是研究几何图形或空间在连续改变形状后还能保持不变的一些性质的学科，它只考虑物体间的位置关系而不考虑它们的形状和大小。
41、1933 年在法国出现一个以布尔巴基(Bourbaki) (这是法国历史上一位战功卓著的将军) 为笔名的青年数学家集团,他们用结构主义观点, 写成一本皇皇巨著《数学原本》,从1939 年到1983年, 已经出版40册。从本质上来说, 结构主义乃是形式化公理方法在方法论上的新发展, 形式化公理方法是着眼于探讨每个数学分支的公理化, 而结构主义则是着眼于探讨整个数学大厦的公理化, 他们先从全局上来分析各个数学分支之间的结构差异和内在联系, 然后再对每门数学深入分析其基本结构的组成形式。与形式化公理方法相比, 结构主义则是对数学理论的更高一步、更深一层的抽象和概括。这样做不仅有助于发掘各个数学理论之间的内在亲缘关系, 解除数学理论之中的非本质界限, 而且有助于扩大数学理论的应用范围。
42、文章内容参考：胡作玄，第三次数学危机，四川人民出版社，1904
43、有一个说法，希帕索斯不仅提出这个问题，同时也给出过证明，彻彻底底推翻了比达格拉斯的理论，所以希帕索斯才惨遭毒手。至于是不是这样的就不得而知了。
44、另一种程序既能解释又能排除已知悖论。如果仔细地检查就会发现：上面的每一个悖论都涉及一个集合S和S的一个成员M(既M是靠S定义的)。这样的一个定义被称作是“非断言的”，而非断言的定义在某种意义上是循环的。例如，考虑罗素的理发师悖论：用M标志理发师，用S标示所有成员的集合，则M被非断言地定义为“S的给并且只给不自己刮胡子人中刮胡子的那个成员”。此定义的循环的性质是显然的——理发师的定义涉及所有的成员，并且理发师本身就是这里的成员。因此，不允许有非断言的定义便可能是一种解决集合论的己知悖论的办法。然而，对这种解决办法，有一个严重的责难，即包括非断言定义的那几部分数学是数学家很不愿丢弃的，例如定理“每一个具有上界的实数非空集合有最小上界(上确界)”。
45、 “操场或游行队伍”：A、B两件物体以等速向相反方向运动。从静止的c来看，比如说A、B都在1小时内移动了2公里，可是从A看来，则B在1小时内就移动了4公里。运动是矛盾的，所以运动是不可能的。
46、对这一悖论，康托尔并没有感到害怕，因为通过反证法恰恰证明没有“所有集合的集合”或者说“最大的集合”，当然也没有“最大的基数”。
47、这是何等的气魄！这是何等的梦想！但就在演讲前夕，他的同胞哥德尔，作出了一个断言，彻底打碎了这个梦。
48、(6)龙叶先.“芝诺悖论”的悖谬实质透视(A).贵阳学院学报(社会科学版)(双月刊)第12卷第1期，2017：
49、第三次数学危机产生于十九世纪末和二十世纪初，当时正是数学空前兴旺发达的时期。首先是逻辑的数学化，促使了数理逻辑这门学科诞生。19世纪后半叶，作为分析严格化的最高成就—康托尔首创的集合论成为现代数学的基础，不仅建立起来，而且被越来越多的数学家所接受、所应用。法国大数学家庞加莱骄傲地宣称：“借助集合论概念，我们可以建造整个数学大厦。现在我们可以说，完全的严格性已经达到了。”此时，数学王国里春光明媚，阳光和煦，一派太平景象。2起源
50、解决集合论的悖论的其它尝试，是从逻辑上去找问题的症结，这带来了逻辑基础的全面研究。
51、英国大主教贝克莱于1734年写文章，攻击流数(导数)“是消失了的量的鬼魂……能消化得了二阶、三阶流数的人，是不会因吞食了神学论点就呕吐的。”他说，用忽略高阶无穷小而消除了原有的错误，“是依靠双重的错误得到了虽然不科学却是正确的结果”。贝克莱虽然也抓住了当时微积分、无穷小方法中一些不清楚不合逻辑的问题，不过他是出自对科学的厌恶和对宗教的维护，而不是出自对科学的追求和探索。
52、 来看看这个悖论的通俗解释：萨尔维村里的一名理发师，给自己立了一条店规，说到：“我只为不给自己刮脸的人刮脸。”那么这位理发师该不该给自己刮脸？
53、(4)韩锐锋，冯炎，郝自军.芝诺悖论分析及极限解释(A).宁夏师范学院学报(自然科学)
54、1897年，福尔蒂揭示了集合论中的第一个悖论。两年后，康托发现了很相似的悖论。1902年，罗素又发现了一个悖论，它除了涉及集合概念本身外不涉及别的概念。罗素悖论曾被以多种形式通俗化。其中最著名的是罗素于1919年给出的，它涉及到某村理发师的困境。理发师宣布了这样一条原则：他给所有不给自己刮脸的人刮脸，并且，只给村里这样的人刮脸。当人们试图回答下列疑问时，就认识到了这种情况的悖论性质："理发师是否自己给自己刮脸？"如果他不给自己刮脸，那么他按原则就该为自己刮脸；如果他给自己刮脸，那么他就不符合他的原则。还有大家熟悉的“说谎者悖论”，其大体内容是：一个克里特人说：“所有克里特人说的每一句话都是谎话。”试问这句话是真还是假?从数学上来说，这就是罗素悖论的一个具体例子。
55、悖论是命题或推理中隐含的思维的不同层次、意义(内容)和表达方式(形式)、主观和客观、主体和客体、事实和价值的混淆，是思维内容与思维形式、思维主体与思维客体、思维层次与思维对象的不对称，是思维结构、逻辑结构的不对称。
56、第一次数学危机表明，几何学的某些真理与算术无关，几何量不能完全由整数及其比来表示。反之，数却可以由几何量表示出来。整数的尊祟地位受到挑战，古希腊的数学观点受到极大的冲击。于是，几何学开始在希腊数学中占有特殊地位。同时也反映出，直觉和经验不一定靠得住，而推理证明才是可靠的。从此希腊人开始从“自明的”公理出发，经过演绎推理，并由此建立几何学体系。这是数学思想上的一次革命，是第一次数学危机的自然产物。
57、在这篇论文中，希尔伯特使用了非构造性的证明，也就是说他只能证明某个数学对象的存在性，却无法将它具体指出。他的证明依赖于对无穷的对象使用排中律，从而遭到了不少人的质疑。所谓的排中律，指的就是一件事非真即假，那么为什么针对这个还有反对的意见呢？罗素悖论引发出数学三个流派集合论是在19 世纪末由康托建立的, 使集合概念成为最基本、应用最广的一个概念，人们相信，全部数学的基础理论可用集合概念统一起来。1900 年，在巴黎召开的国际数学家大会上， 庞加莱曾满怀信心的说：“ 现在我们可以说， 完全的严格化已经达到了。” 可是这话说出后还不到3 年，英国数学家罗素于1902 年给德国数学家弗雷格的信中提出一个集合悖论，使数学基础发生动摇，用弗雷格的话说：“突然它的一块基石崩塌下来了。”
58、从1900年到1930年左右，数学的危机使许多数学家卷入一场大辩论当中。他们看到这次危机涉及到数学的根本，因此必须对数学的哲学基础加以严密的考察。在这场大辩论中，原来不明显的意见分歧扩展成为学派的争论。以罗素为代表的逻缉主义、以布劳威为代表的直觉主义、以希尔伯特为代表的形式主义三大数学哲学学派应运而生。它们都是唯心主义学派，它们都提出了各自的处理一般集合论中的悖论的办法。他们在争论中尽管言语尖刻，好象势不两立，其实各自的观点都吸收了对方的看法而又有很多变化。
59、当时一些数学家和其他学者，也批判过微积分的一些问题，指出其缺乏必要的逻辑基础。例如，罗尔曾说：“微积分是巧妙的谬论的汇集。”在那个勇于创造时代的初期，科学中逻辑上存在这样那样的问题，并不是个别现象。
60、而集合论中元素也有三大特性：确定性、互异性、无序性。首先集合中的元素必须是确定的，例如{我们公司帅的男生}这就不是一个集合,因为帅的定义不同,有些人认为威猛是帅，有些人认为柔弱是帅，所以元素不确定；集合中的元素必须是互不相同的，例如{5,6}是一个集合,但是不能表示为{5,6,5}，这就是互异性；{1,2,4}和{4,2,1}是同一个集合，这就是集合的无序性，因为集合中的元素是不存在顺序的。
61、排中律是一个基本的逻辑定律，也是一个常用的数学技巧，指每一个数学命题要么对，要么错，没有其他可能性。
62、十九世纪下半叶，康托尔创立了著名的集合论，在集合论刚产生时，曾遭到许多人的猛烈攻击。但不久这一开创性成果就为广大数学家所接受了，并且获得广泛而高度的赞誉。数学家们发现，从自然数与康托尔集合论出发可建立起整个数学大厦。因而集合论成为现代数学的基石。“一切数学成果可建立在集合论基础上”这一发现使数学家们为之陶醉。1900年，国际数学家大会上，法国著名数学家庞加莱就曾兴高采烈地宣称：“………借助集合论概念，我们可以建造整个数学大厦……今天，我们可以说绝对的严格性已经达到了……”。
63、第一次是关于无理数，这次危机直接就把毕达哥拉斯的数学王朝推翻，第二次数学危机是关于微积分，是常识跟数学之间契合的问题；第三次数学危机是关于集合论，发生在二十世纪初，这次危机涉及到了数学中最基础的大厦，差点把整个数学理论推翻重来。
64、罗素的天才在于他能把人的逻辑思维非常简明的描绘出来，所以后人也把罗素称为逻辑大师。同时罗素又被人赞为哲学家，这在数学家中并不多见(可能只有笛卡尔有哲学家的称号)。哲学家的厉害之处，在于用简明的语言点出了深奥的人生道理，让你不得不佩服。罗素把数理逻辑发展成了一门哲学学科，足见他功底之深。
65、(3)陈智.芝诺悖论浅析(A).湖北函授大学学报(2014)第27卷第13期.
66、数学家们发现，从自然数与康托尔集合论出发可建立起整个数学大厦。因而集合论成为现代数学的基石。
67、可以看到，“悖论”是矛盾等价式，且具备以下三个要素：
68、真实性悖论(veridicalparadox)：是一个无矛盾的命题。其产生的结果看起来很荒谬，但事实证明是正确的。其推理过程和其结果都没有问题，不是真正的悖论。如，希尔伯特旅馆悖论。
69、比如说这样一个命题：π中含有任意长度的连续数字如果我们接受排中律的话，这个命题非真即假。但无论这个命题是真是假，我们都无法在实际上验证，因为要验证这个命题，我们都要将π无穷地计算下去，而这是不可能做到的。所以，人们对于将排中律用到这种无穷的情况仍有顾虑，因为这不是人们的直觉所能掌握的范围。
70、危机罗素悖论：S由一切不是自身元素的集合所组成，那S属于S吗？用通俗一点的话来说，小明有一天说：“我正在撒谎！”问小明到底撒谎还是说实话。罗素悖论的可怕在于，它不像最大序数悖论或最大基数悖论那样涉及集合高深知识，它很简单，却可以轻松摧毁集合理论。
71、据康托尔集合理论,任何性质都可以决定一个集合,这样所有的集合又可以组成一个集合,即“所有集合的集合”(大全集)。
72、希尔伯特是一位名副其实的数学大师，被誉为“数学界最后一位全才”，他看待数学的眼光也是相当深刻的。在23岁时，他便以一篇关于“不变量理论”的论文跻身数学界。他的证明方法在当时相当具有争议性。
73、承认无穷集合，承认无穷基数，就好像一切灾难都出来了，这就是第三次数学危机的实质。尽管悖论可以消除，矛盾可以解决，然而数学的确定性却在一步一步地丧失。现代公理集合论的大堆公理，简直难说孰真孰假，可是又不能把它们都消除掉，它们跟整个数学是血肉相连的。所以，第三次危机表面上解决了，实质上更深刻地以其它形式延续着。诚然，问题涉及数理逻辑和集合论，但它一开始就牵涉到无穷集合，而现代数学如果脱离无穷集合就可以说寸步难行。因为如果只考虑有限集合或至多是可数的集合，那绝大部分数学将不复存在。而且即便这些有限数学的内容，也有许多问题要涉及无穷的方法，比如解决数论中的许多问题都要用解析方法。由此看来，第三次数学危机是一次深刻的数学危机。
74、1+也叫哥德巴赫猜想的最后一步：每个大于等于6的偶数都可以写成2个素数之和。
75、 1900年，英国数学家和哲学家罗素在巴黎见到意大利数学家皮亚诺，他发现皮亚诺比其他任何人都严格，并且认定这是他的数理逻辑所致。因此，罗素潜心研究皮亚诺及其学生的著作，并且认定他的符号正好是自己寻求多年的、可以用来进行逻辑分析的工具。接着罗素开始打算从逻辑推出全部数学来，开始他还觉得顺利，但是不久就遇到了问题。康托尔曾经证明过不存在最大的基数，罗素对此有些疑惑，认为以世界上所有的集合为元素构成的集合应该是最大的(因而具有最大基数)，这样他就发觉其中有些矛盾，开始的时候他也觉得这件事也许没什么大不了的，也许是在什么地方绕住了，但是他左思右想仍无法绕过来，结果产生了著名的罗素悖论，引起了关于数学基础的新的争论，从而造成了数学史上更为严重的关于数学基础的第三次危机。
76、我们前面讲过欧几里得的几何原本。这部书就是描述欧氏几何。书的开篇就有几大公理和公设。几何原本有5大公理，这五个公理对我们普通人来说，简直就是不用想也应该是对的。第一就是等于同量的量相等，第二是等量加等量其和仍然相等，第三是等量减等量其差相等。第四是彼此能重合的物体是全等的。第五是整体大于局部。这五点，按照我们普通人常识思维肯定是成立的。
77、罗素悖论一个通俗的说法是理发师悖论：在某个城市中有一位理发师，他的广告词是这样写的：“本人的理发技艺十分高超，誉满全城。我将为本城所有不给自己刮脸的人刮脸，我也只给这些人刮脸。我对各位表示热诚欢迎！”来找他刮脸的人络绎不绝，自然都是那些不给自己刮脸的人。可是，有一天，这位理发师从镜子里看见自己的胡子长了，他本能地抓起了剃刀，你们看他能不能给他自己刮脸呢？如果他不给自己刮脸，他就属于“不给自己刮脸的人”，他就要给自己刮脸，而如果他给自己刮脸呢？他又属于“给自己刮脸的人”，他就不该给自己刮脸。
78、看不懂？没关系，其实数学发展到二十世纪不是你我这类凡夫俗子能轻易理解的。为了通俗地让大众明白，罗素用人话开始解释：某村的理发师宣布了这样一条原则：他只给不自己刮胡子的人刮胡子。当人们试图答复下列疑问时，就认识到了这种情况的悖论性质：“理发师是否可以给自己刮胡子？”如果他给自己刮胡子，那么他就不符合他的原则；如果他不给自己刮胡子，那么他按原则就该为自己刮胡子。所有罗素悖论也被称之为“理发师悖论”。
79、1897年，福尔蒂揭示了集合论中的第一个悖论。两年后，康托发现了很相似的悖论。1902年，罗素又发现了一个悖论，它除了涉及集合概念本身外不涉及别的概念。罗素悖论曾被以多种形式通俗化。其中最著名的是罗素于1919年给出的，它涉及到某村理发师的困境。理发师宣布了这样一条原则：他给所有不给自己刮脸的人刮脸，并且，只给村里这样的人刮脸。当人们试图回答下列疑问时，就认识到了这种情况的悖论性质："理发师是否自己给自己刮脸？"如果他不给自己刮脸，那么他按原则就该为自己刮脸；如果他给自己刮脸，那么他就不符合他的原则。
80、成功排除了集合论中出现的悖论，从而比较圆满地解决了第三次数学危机。但在另一方面，罗素悖论对数学而言有着更为深刻的影响。
81、总而言之，就是策梅洛-弗兰克尔公理系统严格规定了一个集合存在的条件(简单地说，存在一个空集(空集公理)；每个集合存在幂集(幂集公理)；每个集合里所有的集合取并也形成集合(并集公理)；每个集合的满足某条件的元素构成子集(子集公理)；一个”定义域“为A的”函数“存在“值域”(替换公理)等)，这样无法定义出悖论中的集合。因此罗素悖论在该系统中被避免了。
82、承认无穷集合、承认无穷基数，就好象一切灾难都出来了，这就是第三次数学危机的实质。尽管悖论可以消除，矛盾可以解决，然而数学的确定性却在一步一步地丧失。现代公理集合论中一大堆公理，简直难说孰真孰假，可是又不能把它们都消除掉，它们跟整个数学是血肉相连的。所以，第三次数学危机表面上解决了，实质上更深刻地以其它形式延续着。
83、 不过，落到每一条上，具体来看，也很有意义.下面我们将具体分析芝诺悖论每一条存在的问题：
84、数学中的矛盾既然是固有的，它的激烈冲突——危机就不可避免。危机的解决给数学带来了许多新认识、新内容，有时也带来了革命性的变化。把20世纪的数学同以前全部数学相比，内容要丰富得多，认识要深入得多。在集合论的基础上，诞生了抽象代数学、拓扑学、泛函分析与测度论，数理逻辑也兴旺发达成为数学有机体的一部分。古代的代数几何、微分几何、复分析现在已经推广到高维。代数数论的面貌也多次改变，变得越来越优美、完整。一系列经典问题完满地得到解决，同时又产生更多的新问题。特别是二次大战之后，新成果层出不穷，从来间断。数学呈现无比兴旺发达的景象，而这正是人们同数学中的矛盾、危机斗争的产物。
85、为了证明自己的观点，康托尔提出了“超越数”的概念，所谓超越数就是不能满足任何整系数代数方程的实数，但是他没有举出具体的超越数例子，这一下引起了当时同行们的怀疑和愤怒。康托尔面临各种质疑由于过度紧张得了精神病，最终死在了精神病院里。
86、计划的第二步是证明数学是完整的。这个完整包含了两个方面，一是完备，二是一致。所有真的陈述都能被证明，这被称为数学的完备性；另一方面，不会推出自相矛盾的陈述，则被称为数学的一致性。完备性保证了我们能证明所有的真理，只要是真的就可以证明；一致性确保我们在不违背逻辑的前提下获得的结果是有意义的，不会出现一个陈述，它既是真的又是假的。
